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Signification biologique de la prise de zéro comme coefficient du Laplacien dans les modèles mathématiques de la motilité cellulaire

Signification biologique de la prise de zéro comme coefficient du Laplacien dans les modèles mathématiques de la motilité cellulaire


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Plusieurs modèles mathématiques issus de la biologie théorique traitent de diverses formes de motilité cellulaire (par exemple, la croissance du cancer) ou d'évolution des populations.

Les équations qui composent ces modèles contiennent généralement (entre autres) un terme de diffusion fickien de la forme $$- delta Delta u(t,x),$$ où $u$ est la densité de cellules (ou de population).


Pour corriger certaines idées, considérons les exemples suivants.

  1. UNE modèle de chimiotaxie:

$$partial_t u(t,x) = delta Delta u(t,x) - abla cdot(uKstar u),$$ où $K star u = int_Omega K(x, y)u(t,y)dy$, pour un certain noyau $K$.

  1. Un modèle né dans Les dynamiques de population:

$$partial_t u(t,x) = deltaDelta u(t,x) + u(t,x) left(lambda - aint_Omega u(t,y) dy ight). $$


  • Biologiquement, que signifie une situation où $delta = 0$ (c'est-à-dire où il n'y a pas de diffusion fickienne régie par le terme laplacien) ?

  • Y a-t-il un intérêt à étudier de telles situations ?

  • Pouvez-vous signaler quelques références sur ce sujet?


Juste pour que nous soyons sur la même longueur d'onde…

  • $u(x,t)$ est une fonction concentration/densité qui décrit le nombre d'espèces particulaires (bactéries, molécules de gaz, etc.) à un point dans l'espace $x$ et le temps $t$. Et bien que cela puisse être une déclaration évidente à faire… avec $u$ avoir les paramètres $(x,t)$, cela indique que les valeurs de concentration de particules dépendent à la fois de la position et du temps.

  • $delta$ est le coefficient de diffusion de la concentration particulaire, défini comme une constante de proportionnalité entre la diffusion particulaire et le gradient global de concentration particulaire. La diffusion particulaire peut être considérée comme un comportement local, alors que le gradient global de concentration particulaire décrit le comportement de distribution pour l'ensemble de la concentration particulaire, et qui peut être affecté par des forces autres que la réponse des particules à un gradient attractif/répulsif, y compris la température, la pression , et/ou d'autres variables environnementales. Une compréhension approfondie de ce coefficient peut être obtenue en lisant les sections 2.1 et 2.2.


Vos questions

  • Biologiquement, quel est le sens d'une situation où $delta = 0$?

Eh bien, si vous avez effectivement lu les sections recommandées, vous vous êtes peut-être déjà rendu compte que ce n'est tout simplement pas possible pour $delta = 0$, à moins que vous ne considériez des concentrations de masse qui ne peuvent tout simplement pas se diffuser les unes dans les autres, mais même dans ce cas $delta$ serait considéré comme $DNE$.

Pour référencer une partie de 2.1 & 2.2 :

La diffusion moléculaire, à proprement parler, ne peut pas se produire dans des conditions dans lesquelles à la fois le flux net et le [gradient de concentration] sont simultanément nuls. Si le [gradient de concentration] est uniforme, alors en général les flux sont différents pour différentes espèces, et le flux net n'est pas nul. Si le flux net est nul, un petit gradient [de concentration] doit exister afin de contrer la tendance des différents flux d'espèces à être différents.

Cela dit, le coefficient de diffusion pouvez être une valeur extrêmement petite - qui est basée sur la nature des particules soumises à la diffusion et le milieu pour lequel elles se déplacent - mais ce n'est jamais zéro. Voir ici pour une série de tableaux contenant les coefficients de diffusion pour les substances courantes dans des conditions standard.

Et quant à la signification biologique de $delta = DNE$… la seule conclusion qui pourrait être tirée est que les concentrations massiques considérées ne peuvent pas diffuser entre elles, pour quelque raison que ce soit. Qu'il y ait ou non un sens au-delà de cela, je pense que cela dépendrait de ce qui est spécifiquement étudié.


  • … c'est-à-dire où il n'y a pas diffusion fickienne régie par le terme laplacien ?

Cette déclaration cependant, Est-ce que avoir une signification biologique. Lorsque $delta Delta u(t,x) = 0$, cela signifie qu'il y a un flux net nul se produisant au point dans l'espace $x$ au moment $t$. C'est-à-dire que - le nombre de particules d'une espèce donnée entrer une région donnée de l'espace sur un intervalle de temps donné est exactement le même que le nombre de particules d'une même espèce en quittant exactement la même région de l'espace sur le même intervalle de temps. Lorsque cela est vrai pour toutes les régions de l'espace au sein du système [biologique], cela signifie que le système est dans un état stable et/ou a atteint l'équilibre.

Remarque : les systèmes d'équilibre et d'état stable ne sont pas les mêmes, cependant, les différences impliquées ne sont pas pertinentes pour la portée de cette discussion, et donc rien de plus ne sera dit à ce sujet.

Lorsqu'un système biologique est dans un état stable et/ou en équilibre, cela peut avoir des implications importantes. L'exemple peut-être le plus omniprésent qui vient également à l'esprit est celui des états stables des canaux ioniques, les effets de l'activation/non-activation cellulaire étant les implications. Un autre exemple pourrait être à peu près n'importe quelle réaction chimique qui atteint l'équilibre.


  • Y a-t-il un intérêt à étudier de telles situations ? Pouvez-vous signaler quelques références sur ce sujet?

Oui, il existe de nombreuses occurrences où ces états sont étudiés, dont vous êtes peut-être déjà au courant. Quoi qu'il en soit, en voici quelques-uns qui me semblent assez dignes d'être fournis dans cette réponse :

  • Distribution à l'état d'équilibre des bactéries chimiotactiques vers l'oxygène

  • Équilibre de deux populations soumises à la chimiotaxie

  • Le modèle Hodgkin-Huxley


En résumé

Le sens biologique de $delta Delta u(t,x) = 0$ traite généralement des scénarios dans lesquels la ou les régions de l'espace subissent un flux de masse qui a des taux d'entrée et de sortie égaux pour une espèce particulaire donnée. La plupart du temps, cela indique un état stationnaire et/ou un équilibre, et cela peut être limité à des régions locales ou globalement dans tout le système.

Et j'aimerais aussi offrir une perspective légèrement différente. Normalement, le coefficient de diffusion est une fonction dépendante de la température et de la pression. Cependant, si vous envisagez des situations avec STP/NTP, le coefficient de diffusion peut vraiment être traité comme une constante. Lorsque c'est le cas, le terme laplacien est analogue à l'équation de la chaleur. En prenant cette perspective, le terme laplacien [étant zéro] indique qu'il n'y a pas de perte ou de gain de chaleur (mouvement particulaire spécifique à l'espèce) lors de l'examen d'une région de l'espace sur un intervalle de temps défini, et le modèle global décrirait le changement (s) en mouvement (chaleur) pour l'ensemble du système. À partir de là, la biologie pourrait expliquer Pourquoi la « chaleur » se comporte comme elle le fait, ce qui impliquerait les mécanismes et les comportements d'un organisme en ce qui concerne sa (ses) réaction(s) à un attractif/répulsif.

Et enfin, par souci d'inclusivité, les autres termes de ces modèles représentent généralement des comportements externes aux interactions locales, et chacun peut avoir des effets différents, tels que des taux de natalité/mortalité dans la dynamique de la population, ou un mouvement de concentration de particules perpendiculaire à l'axe auquel le gradient de concentration se poursuit, comme c'est le cas avec le deuxième terme du modèle de chimiotaxie. Ainsi, lorsque le terme laplacien ne contribue à aucun changement, c'est-à-dire lorsqu'il y a un flux net nul, ces autres termes seront alors les seuls contributeurs candidats à tout changement potentiel dans le système, quels que soient ces changements.


Les références


Voir la vidéo: Lorganisme pluricellulaire, un ensemble de cellules spécialisées - 2nde - Madame SVT (Juillet 2022).


Commentaires:

  1. Moogunos

    Je suis sûr de cela.

  2. Barnett

    À mon avis, vous vous trompez. Je peux défendre la position. Ecrivez moi en MP, on discutera.

  3. Yazid

    alors, quelle est la prochaine!



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